Insieme denso

N'insieme $S\in X$ , 'ndoe che $X$ el xe un spassio topołogico, el se dixe denso so $X$ se ogni ponto $x\in X$ el sta anca in $S$ o 'l xe ponto d'acumulassion par $S$ .

Definission conpagne

A seconda de ła strutura de $X$ ghe xe on fià de definission conpagne.

X spassio mètrico

Se $X$ el xe un spassio mètrico, eora $S$ el xe denso so $X$ se (e soło se) ${\overline {S}}=X$ .

X spassio normà

Se $X$ el xe un spassio normà (overo un spassio vetoriałe cò na norma $\|\cdot \|$ ), eora $S$ el se dixe denso so $X$ se vałe una de ste dò (che łe xe conpagne):

$\forall x\in X,\forall \epsilon >0\exists s\in S$ t.c. $\|x-s\|<\epsilon$ ;
$\forall x\in X\;\exists \{s_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }\in S$ t.c. $s_{i}\longrightarrow x$ .

Se invese ghemo na serie $S_{0}\subset S_{1}\subset ...$ de sotinsiemi de $X$ (cò $S_{0}\neq \varnothing$ ), eora se mostra che $E_{n}(x):=\inf _{s_{n}\in S_{n}}\|x-s_{n}\|\longrightarrow 0\;\forall x\in X$ se e soło se $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S_{n}$ el xe denso so $X$ .

Exenpi

${\overline {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R}$ inte ła topołogia euclidea, cussita $\mathbb {Q}$ el xe denso so $\mathbb {R}$ .

Łe funsion continue so n'intervało $[a,b]\subset \mathbb {R}$ se poe scrivare fà limiti uniformi de na serie de połinomi, cussita $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {P} _{n}$ el xe denso so $\left({\mathcal {C}}([a,b]),\|\cdot \|_{\infty }\right)$ .

Wikimedia Commons el detien imàjini o altri file so insieme denso