Sta voxe de siense xe orfagna , o sia privada de lighi in entrada da altre voxe Inserìsaghene inmanco uno pertinente e cava l'avixo.
Sia dà un spassio de Hilbert
L
w
2
(
(
a
,
b
)
,
‖
⋅
‖
w
)
:=
{
f
{\displaystyle L_{w}^{2}((a,b),\|\cdot \|_{w}):=\{f}
misuràbiłe tc
∫
a
b
|
f
(
x
)
|
2
w
(
x
)
d
x
<
+
∞
}
{\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x)dx<+\infty \}}
còl prodoto scałare
(
f
,
g
)
2
,
w
:=
∫
a
b
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
w
(
x
)
d
x
{\displaystyle (f,g)_{2,w}:=\int _{a}^{b}f(x)\cdot g(x)\;w(x)dx}
e sia
w
:
(
a
,
b
)
→
R
≥
0
{\displaystyle w:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} ^{\geq 0}}
na funsion péxo , o sia tc
∫
a
b
w
(
x
)
|
x
|
n
d
x
<
+
∞
∀
n
{\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)|x|^{n}dx<+\infty \;\forall n}
;
∫
a
b
g
(
x
)
w
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)w(x)dx=0}
par
g
:
(
a
,
b
)
→
R
≥
0
{\displaystyle g:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} ^{\geq 0}}
continua
⇒
g
≡
0
{\displaystyle \Rightarrow g\equiv 0}
in
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
.
Na famèja triangołare de połinomi
{
ϕ
k
}
k
=
0
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle \{\phi _{k}\}_{k=0,...,n}}
('ndoe che
deg
(
ϕ
k
)
=
k
{\displaystyle \deg(\phi _{k})=k}
) se dixe ortogonałe par
w
{\displaystyle w}
se
(
ϕ
i
,
ϕ
j
)
2
,
w
=
a
i
δ
i
j
{\displaystyle (\phi _{i},\phi _{j})_{2,w}=a_{i}\delta _{i}j}
cò
a
j
>
0
{\displaystyle a_{j}>0}
.
La famèja
P
n
{\displaystyle \mathbb {P} _{n}}
dei połinomi de grado finìo ła sta drento lo spassio de sòra par tuti i
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
.
De fati
p
n
∈
P
n
⇒
p
n
=
∑
k
=
0
n
a
k
x
k
⇒
‖
p
‖
2
,
w
=
‖
∑
k
=
0
n
a
k
x
k
‖
≤
∑
k
=
0
n
|
a
k
|
‖
x
k
‖
{\displaystyle p_{n}\in \mathbb {P} _{n}\Rightarrow p_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\Rightarrow \|p\|_{2,w}=\|\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\|\leq \sum _{k=0}^{n}|a_{k}|\|x^{k}\|}
, che xe finìo parchè
‖
x
k
‖
2
,
w
2
=
∫
a
b
|
x
|
2
k
x
k
d
x
<
+
∞
{\displaystyle \|x^{k}\|_{2,w}^{2}=\int _{a}^{b}|x|^{2k}x^{k}dx<+\infty }
par tute łe
k
=
0
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle k=0,...,n}
.
Fissà
f
∈
L
w
2
(
a
,
b
)
{\displaystyle f\in L_{w}^{2}(a,b)}
e
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
, el problema dei minimi quadrati el diventa: càta fora el
p
n
{\displaystyle p_{n}}
che rende pì ceo possìbiłe
‖
f
−
p
n
‖
2
,
w
=
∫
a
b
|
f
(
x
)
−
p
n
(
x
)
|
2
w
(
x
)
d
x
{\displaystyle \|f-p_{n}\|_{2,w}=\int _{a}^{b}|f(x)-p_{n}(x)|^{2}w(x)dx}
.
Cò Gram-Schmit semo boni de catarse na famèja de połinomi ortogonałi
ϕ
0
,
.
.
.
,
ϕ
n
{\displaystyle \phi _{0},...,\phi _{n}}
, che poe far da baxe ortonormałe de
P
n
{\displaystyle \mathbb {P} _{n}}
.
Xe inportante notare che cussita ghemo che
(
ϕ
n
+
1
,
p
n
)
2
,
w
=
0
{\displaystyle (\phi _{n+1},p_{n})_{2,w}=0}
.