Quadradura numèrica

Ón clasico problema de l'anałisi numèrica xe queło de stimare $I_{w}(f)=\int _{a}^{b}f(x)w(x)dx$ , 'ndoe che $w$ xe na funsion péxo e sensa che se gabia da passar par ła primitiva de l'integranda.

Formuła de quadradura interpołatoria

Sia dài:

• $(a,b)$ intervało de integrassion;
• $x_{1},...,x_{N}$ insieme de punti deti nodi;
• $f\in {\mathcal {C}}_{N}([a,b])$ funsion $w$-intergrabiłe.

Eora ghe xe $p_{N-1}(x)=\sum _{i=0}^{N}L_{i}(x)f(x_{i})$, połinomio de Lagrange che interpoła łe copie $(x_{i},f(x_{i}))$, par cui $\int _{a}^{b}f(x)w(x)dx\approx \int _{a}^{b}p_{N-1}(x)w(x)dx=\sum _{i=1}^{N}\left(\int _{a}^{b}L_{i}(x)w(x)dx\right)f(x_{i})\Rightarrow w_{i}=\int _{a}^{b}L_{i}(x)w(x)dx$.
Xe sto punto naturałe ciamare interpołatoria la forumuła de quadradura $\int _{a}^{b}f(x)w(x)dx\approx \sum _{i=1}^{N}w_{i}f(x_{i})$ par cui $w_{i}=\int _{a}^{b}L_{i}(x)w(x)dx$.

Grado de precision

Se dixe che na formuła de quadradura $\int _{a}^{b}f(x_{i})w(x)dx=\sum _{i=1}^{N}w_{i}f(x_{i})$ ga grado de precision $N$ (da qui invanti "g.d.p.") se e soło se la xe exàta par tuti quanti i połinomi de grado $N$, ma no la xe par almanco uno dei połinomi de grado $N+1$.

Na formula de quadradura de quadradura xe interpołatoria se e soło se ga g.d.p. almanco $N-1$.

Demostrasion

De fati:

$(\Rightarrow )p_{N-1}\in \mathbb {P} _{n-1}\Rightarrow p_{N-1}=\sum _{i=1}^{N}p_{N-1}(x_{i})L_{i}(x)\Rightarrow$

$\int _{a}^{b}p_{N-1}p_{N-1}(x)w(x)dx=\int _{a}^{b}\sum _{i=1}^{N}p_{N-1}(x_{i})L_{i}(x_{i})w(x)dx=\sum _{i=1}^{N}\left(\int _{a}^{b}L_{i}(x)w(x)dx\right)p_{N-1}(x_{i})=\sum _{i=1}^{N}w_{i}p_{N-1}(x_{i})$.

$(\Leftarrow )$ Se ga g.d.p. almanco $N-1$ eora xe exàta par i połinomi de Lagrange:

$\int _{a}^{b}L_{i}(x)w(x)dx=\sum _{k=1}^{N}w_{k}L_{i}(x_{k})=w_{i}L_{i}(x)=w_{i}$.

Formułe de Newton-Cotes

Na famèja particołare de forumłe de quadradura interpołatorie xe queła de łe formułe de Newton-Cotes.

Formułe de Newton-Cotes saràe

Sia dà $[a,b]\subset \mathbb {R}$. Na formuła $S_{N}(f)=\sum _{i=1}^{N}w_{i}f(x_{i})$ tałe che $\int _{a}^{b}f(x)d(x)\approx S_{N}(f)$ se dixe de Newton-Cotes sarà se:

1. i nodi i xe distanti conpagni: $x_{i}=a+{\frac {(i-1)(b-a)}{N-1}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;i=1,...,N$ ;
2. i péxi i xe $w_{i}=\int _{a}^{b}L_{i}(x)dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;i=1,...,N$, ndoe che $L_{i}(x)=\prod _{j=1,j\neq i}^{M}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}$ .

Quindi łe formule de Newton-Cotes łe xe interpołatorie cò grado de precision almanco $N-1$ .

Exenpi

Qua basso dei exenpi de formułe de Newton-Cotes saràe, ndoe che $f_{i}=f(x_{i})$, $h={\frac {b-a}{N}}$ e $\xi \in (a,b)$.

N	Nome	Formuła	Erore	g.d.p.
$2$	Regoła del trapesio	${\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {h^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )$	$1$
$3$	Cavalieri-Simpson	${\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {h^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )$	$2$

Formułe de Newton-Cotes conposte

Coe formule de Newton-Cotes saràe se podaria ndar vanti fin a $N=7$, ma par $N\geq 8$ se vede che vegnarìa fora péxi negadivi, che rendarìa no-stabiłi ste formułe.
Par sistemar sto problema se poe doparar łe formułe conposte, che migliorarà la situasion anca par $N$ pì bassi (el g.d.p. xe senpre queło, ma i péxi i xe pì cei).
Sia dà $[a,b]\subset \mathbb {R}$, lo "tajemo" in $N$ tochi pì cei: $T_{j}:=[x_{j},x_{j+1}]$ ndoe che $x_{j}=a+j\cdot {\frac {b-a}{N}}$.
L'integrałe el xe lineare, cussita $\int _{a}^{b}f(x)w(x)dx=\sum _{j=0}^{N-1}\int _{x_{j}}^{x_{j+1}}f(x)w(x)dx\approx \sum _{j=0}^{N-1}S(f,x_{j},x_{j+1})$, ndoe che $S$ ła xe na regoła de quadradura. Dałe formułe de Newton-Cotes saràe vien fora łe formułe de Newton-Cotes conposte.

Exenpi

Qua basso dei exenpi de formułe de Newton-Cotes conposte, ndoe che $f_{i}=f(x_{i})$, $h={\frac {b-a}{N}}$ e $\xi _{k}\in (x_{k},x_{k+1})$.

Nome	Formuła	Erore	g.d.p.
Regoła del trapesio conposta	$h\left({\frac {f_{0}}{2}}+f_{1}+f_{2}+...+f_{N-1}+{\frac {f_{N}}{2}}\right)$	$-{\frac {h^{3}}{12N^{3}}}\,\sum _{k=0}^{N-1}f^{(2)}(\xi _{k})$	$1$
Cavalieri-Simpson conposta	${\frac {h}{6}}\left(f_{0}+2\sum _{m=0}^{N-1}f_{2m}+4\sum _{m=1}^{N-1}f_{2m+1}+f_{2N}\right)$	$-{\frac {h^{5}N}{180}}\,\sum _{k=0}^{N-1}f^{(4)}(\xi _{k})$	$2$